Mapa de Veitch-Karnaugh

O Mapa de Veitch-Karnaugh tem a finalidade de simplificar uma equação lógica. Este método de simplificação foi criado pelo cientista da computação Edward Veitch e aperfeiçoado pelo engenheiro Maurice Karnaugh.

Mapa de Veitch-Karnaugh para Duas Variáveis

Vamos utilizar o exemplo abaixo para exemplificar o mapa de Karnaugh com duas variáveis.

Tabela Verdade      

ABS
000
011
100
111

Conforme vimos no post:  Tabela Verdade, Expressão Lógica e Circuito Lógico para extrairmos a equação lógica através da tabela verdade, vamos considerar as saídas com bits iguais a 1. Diante disso, teremos a seguinte equação lógica de saída:

Configuração do Mapa de Veitch-Karnaugh

Vamos agora configurar o mapa de Karnaugh para duas variáveis:

Mapa de Veitch-Karnaugh

Acima podemos ver o mapa com duas colunas referentes a variável A e duas linhas referentes a variável B. Quando a variável for 0, a mesma será barrada e quando a variável for 1 a variável não será barrada.

Preenchimento do Mapa de Veitch-Karnaugh

Através da expressão lógica de saída podemos preencher o Mapa de Veitch-Karnaugh. No nosso exemplo obtivemos a seguinte expressão:

Fórmula 2

 

Vamos começar a preencher o mapa com a saída: AB

 

Mapa de Veitch-Karnaugh

 

Traçamos uma reta na coluna Ā e outra na linha B. A intersecção dessas retas (círculo azul) será preenchida com bit 1.

Vamos seguir o mesmo procedimento para a saída A.B. Traçamos uma reta na coluna A e uma na linha B, a intersecção dessas retas (círculo azul) será preenchida com bit 1.

Mapa de Veitch-Karnaugh

 

As demais células serão preenchidas com bits 0. Desta forma o mapa ficará preenchido assim:

Mapa de Veitch-Karnaugh

 

Agrupamento

Na próxima etapa, devemos agrupar os bits iguais a 1. O agrupamento deve ser feito na vertical e/ou horizontal. Podemos agrupar os bits um em múltiplos de 2, ou seja, fazer o agrupamento de 2 bits, 4 bits, 8 bits, 16 bits e assim por diante.

Para o nosso exemplo, o agrupamento ficará da seguinte forma:

Mapa de Veitch-Karnaugh

Foi feito o agrupamento na horizontal e com dois bits de nível lógico 1.

Leitura do Agrupamento

Podemos ver que o agrupamento abrangeu toda a linha referente a variável B, ou seja, a nossa saída será igual a essa variável.

Mapa de Veitch-Karnaugh

S= B

Veja que a saída foi simplificada para apenas uma variável, isso nos proporciona uma redução considerável nos projetos envolvendo circuitos digitais.

Mapa de Karnaugh para Três Variáveis

Para o mapa de Karnaugh com 3 variáveis vamos utilizar o exemplo abaixo:

 

ABCS
0001
0010
0101
0110
1000
1011
1100
1111

fórmula mapa de karnaugh

 

 

Agora vamos simplificar a expressão lógica acima utilizando o mapa de Karnaugh.

Configuração do Mapa de Karnaugh para 3 Variáveis

Mapa de Veitch-Karnaugh

Podemos ver nas colunas que o bit a esquerda corresponde à variável A e o bit a direita corresponde à variável B. As linhas correspondem a variável C, quando o bit for zero a variável será barrada, quando for 1 a variável não será barrada.

Preenchimento do Mapa de Karnaugh

Vimos que no nosso exemplo obtivemos a saída Fórmula para a saída , vamos começar preenchendo a saída A,B,C fórmula mapa karnaugh.  Podemos ver abaixo que foi traçada uma reta na coluna formula A.B e outra na linha formula C,

a intersecção dessas retas (círculo azul) será preenchida com bit 1.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Agora vamos preencher a saída A,B,C fórmula mapa karnaugh. Para isso traçamos uma reta na coluna formula A.B e outra reta na linha formula C, a intersecção dessas retas (círculo azul) será preenchida com bit 1. Veja abaixo:

Mapa de Veitch-Karnaugh

Para preencher a saída A,B,C fórmula mapa karnaugh, vamos traçar uma reta na coluna formula A.B  e outra na linha C. Preencheremos com bit 1 na intersecção dessas duas retas (círculo azul).

Mapa de Veitch-Karnaugh

Para finalizar, vamos preencher a saída A,B,C fórmula mapa karnaugh,  traçando uma reta na coluna formula A.B e outra na linha C. Preencheremos com bit 1 na intersecção dessas duas retas (círculo azul).

Mapa de Veitch-Karnaugh

Nas células que não foram preenchidas com bit 1, preencheremos com bit zero. Veja abaixo o mapa de Karnaugh totalmente preenchido.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Agrupamento

Na próxima etapa, devemos agrupar os bits iguais a 1. Abaixo podemos ver que foram feitos dois agrupamentos de dois bits.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Leitura do Agrupamento

Podemos ver que o agrupamento lilás abrangeu as colunas formula A.B e  formula A.B e a linha formula C. Quando o agrupamento abrange duas colunas, devemos apenas considerar as variáveis semelhantes:

Mapa de Veitch-Karnaugh

Vimos que nas colunas as variáveis Ā são semelhantes. Como este agrupamento só abrangeu somente a linhaformula C, devemos apenas considerar esta linha, ou seja, esta saída simplificada ficará da seguinte forma:

O agrupamento laranja abrangeu as colunas formula A.B e formula A.B e a linha C. Para estas duas colunas, consideramos as variáveis semelhantes, que neste caso será a variável A. Podemos ver também que este agrupamento só envolveu a coluna C.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Esta saída simplificada ficará da seguinte forma:

AC

 

Sendo assim, a saída simplificada ficará definida desta forma:

formula s=a.c

 

 

Desta forma podemos simplificar e otimizar o circuito lógico final.

Mapa de Veitch-Karnaugh para Quatro Variáveis

Para o mapa de Karnaugh com 4 variáveis, vamos utilizar o seguinte exemplo:

ABCDS
00001
00011
00101
00111
01000
01010
01101
01111
10001
10011
10101
10111
11000
11010
11100
11110

A equação lógica de saída sem simplificação ficará da seguinte forma:

equação lógica sem simplificação

Configuração do Mapa de Veitch-Karnaugh para 4 Variáveis

Mapa de Veitch-Karnaugh

Podemos ver nas colunas que o bit á esquerda corresponde à variável A e o bit à direita corresponde à variável B. Nas linhas temos o bit à esquerda que corresponde à variável C e o bit à esquerda corresponde á variável D.

Preenchimento do Mapa de Veitch-Karnaugh

Nesta etapa vamos preencher o mapa de Karnaugh através da saída extraída da tabela verdade:

saída extraida da tabela verdade

Na saída ABCD, vamos traçar uma reta na coluna formula A.B e outra na linha Formula C.D. Na intersecção das duas retas (círculo azul) preencheremos com bit 1.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Na saída vamos traçar uma reta na coluna formula A.B e outra na linha Formula C.D. Na intersecção das duas retas (círculo azul) preencheremos com bit 1.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Para a próxima saída ABCD, vamos seguir o mesmo procedimento, ou seja, traçar uma reta na coluna formula A.B e outra na linha Formula C.D.  Na intersecção das duas retas preencheremos com bit 1.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Na saída ABCD, traçaremos uma reta na coluna, traçaremos uma reta na coluna formula A.B e outra na linha Formula C.D.

Preencheremos com bit 1 na intersecção das duas retas (círculo azul), como podemos ver abaixo:

figura 15 formula para mapa de veitch karnaugh

Continuando esse procedimento para todas as saídas o mapa ficará preenchido da seguinte forma:

Mapa de Veitch-Karnaugh

Agrupamento

Mapa de Veitch-Karnaugh

Acima pode ser visto que foi feito um agrupamento de 8 células com bits iguais a 1. É possível fazer o agrupamento nas extremidades do mapa desde que eles se combinem. Neste caso para determinamos a saída simplificada neste agrupamento basta extrairmos os termos semelhantes das duas colunas, que neste caso será B

Mapa de Veitch-Karnaugh

Ou seja, esta saída simplificada será:

B

Ainda faltam duas células com bits iguais a 1 para serem agrupados. Quanto maiores os agrupamentos, menor será o circuito final. É possível utilizar as células que já foram agrupadas como podemos ver abaixo.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Podemos ver que este agrupamento abrangeu duas colunas e duas linhas. Tanto nas colunas quanto nas linhas vamos extrair os termos semelhantes para podermos simplificar a saída.

Mapa de Veitch-Karnaugh

Podemos ver que os termos semelhantes nas colunas são as variáveis Ā e nas linhas os termos semelhantes são as variáveis C. Esta saída simplificada ficará da seguinte forma:

AC

A saída final simplificada será igual a:

Fórmula A.C+B

Comparando a saída sem simplificação (extraída da tabela verdade) com a simplificada através do Mapa de Veitch-Karnaugh, podemos comprovar que serão utilizadas menos portas lógicas, assim reduzindo o circuito digital.

Esperamos que tenham gostado deste tutorial. Para dúvidas e sugestões, deixe um comentário abaixo! Aproveite e confira outros produtos em nossa loja!